РОЗДІЛ 8. ЛІНІЙНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ЛІНІЙНИХ ПРОСТОРІВ. §1. Основні поняття теорії лінійних перетворень. 1. Мотивація. У розділі 6 було показано, що якщо два базиси
,
лінійного простору зв’язані матрицею переходу
,
,
, то координати
,
вектора
в базисах
,
відповідно, зв’язані співвідношенням
. Формулу
можна витлумачити і інакше, а саме: якщо вектор
має координати
в деякій системі координат, то йому ставиться у відповідність вектор
з координатами
в тій самій системі координат за формулою
. Іншими словами, співвідношення
визначає в лінійному просторі функцію, яка кожному векторові
ставить у відповідність деякий вектор
того самого простору. В цьому розділі ми будемо систематично вивчати саме такі функції. 2. Означення та приклади. Якщо кожному векторові
лінійного простору поставлено у відповідність єдиний вектор
того самого простору, то кажуть, що задано перетворення цього простору, яке будемо позначати
. При цьому вектор
називається прообразом, а вектор
– образом перетворення
. Перетворення
лінійного простору
називається лінійним, якщо для нього справджуються такі умови: 1.
2.
. Приклади. 1. Поворот тривимірного евклідового простору навколо якої-небудь осі, що проходить через початок координат, на який-небудь кут
є лінійним перетворенням цього простору, яке кожному векторові
ставить у відповідність вектор
, отриманий поворотом вектора
на кут
навколо даної осі. Перевірити виконання умов 1, 2 як вправу. 2. Позначимо через
який-небудь двовимірний підпростір тривимірного евклідового простору. Кожному векторові
простору поставимо у відповідність вектор
, який є ортогональною проекцією вектора
на підпростір
. Перевірити, що для такого перетворення справджуються умови 1, 2. 3. Нехай
–
– вимірний лінійний простір і нехай
– деяка квадратна матриця порядку
. Векторові
простору
поставимо у відповідність вектор
того самого простору за правилом
. Перевіримо, що так визначене перетворення лінійне. Справді, за відповідними властивостями множення матриць,
,
. 4. В лінійному просторі многочленів, степінь яких не перевищує
, покладемо
. Це перетворення лінійне:
,
. 5. В просторі
неперервних на проміжку
функцій покладемо
. Таке перетворення лінійне:
,
. Перетворення
, яке кожному векторові
ставить у відповідність той самий вектор
,
, є лінійним і називається одиничним, або тотожним перетворенням. Перетворення
, яке кожний вектор
відображує в нуль-вектор,
, є лінійним і називається нульовим перетворенням. Зазначимо, що будь-яке лінійне перетворення
відображує нульовий вектор в самого себе:
. 3. Образ лінійного підпростору. Нехай
– лінійне перетворення простору
і нехай
– який-небудь підпростір цього простору. Позначимо через
сукупність образів всіх векторів підпростору
при дії лінійного перетворення
,
.
будемо називати образом лінійного підпростору
, а сам лінійний підпростір
– прообразом. Теорема про образ лінійного підпростору. Кожне лінійне перетворення лінійного простору відображує будь-який лінійний підпростір в лінійний підпростір, до того ж вимірність образу не перевищує вимірності прообразу. Доведення. Нехай
– лінійне перетворення простору
,
– підпростір цього простору і нехай
– пара яких-небудь векторів сукупності
. Тоді існують такі вектори
підпростору
, що
,
. Звідси, для будь-якої пари чисел

, тобто в сукупність
разом з кожною парою векторів входить і їх довільна лінійна комбінація, тому
є лінійним підпростором. Припустимо, що
. Розглянемо в
який-небудь базис
. Згідно з припущенням,
, тому система векторів
лінійно залежна. Звідси,
існує нетривіальна нульова лінійна комбінація
. Подіємо лінійним перетворенням
на обидві частини цієї рівності:
. Звідси,
, тобто вектори
лінійно залежні, що суперечить умові. Таким чином,
. Теорему доведено. 4. Умови існування та єдиності лінійного перетворення. Два лінійних перетворення
лінійного простору
збігаю...